Image: Gerd Altmann @ Pixabay
Pour son édition 2020, notre dossier des Découvertes de l’année s’offre une cure de jeunesse! En plus des textes réguliers de nos journalistes, nous avons demandé à des élèves de la quatrième année du secondaire du Collège Sainte-Anne de Lachine de nous présenter à leur façon les découvertes primées.
La science d’ici vue par les jeunes d’ici!
Dimitris Koukoulopoulos, professeur de mathématiques à l’Université de Montréal, et James Maynard, un mathématicien anglais reconnu pour ses nombreux travaux sur l’écart entre les nombres premiers, viennent de valider une conjecture sur l’approximation de nombres irrationnels par des fractions.
Vous connaissez probablement Pi, ce nombre irrationnel utilisé pour calculer la circonférence et l’aire des cercles. Comme tous les nombres irrationnels, il possède une infinité de chiffres après la virgule: 3,1415926535… Et comme tous les irrationnels, on ne peut pas l’exprimer par une fraction. Mais saviez-vous qu’on peut l’approximer par une fraction? Par exemple, la fraction 22/7 donne 3,14285714… ce qui correspond à Pi jusqu’à sa deuxième décimale. Encore mieux, la fraction 355/113 donne 3,14159292… et la ressemblance augmente jusqu’à la sixième décimale. Dans le premier cas, on a une erreur de 0,001264…, dans le deuxième, l’erreur n’est plus que de 0,0000002668…
En fait, dans ce genre d’approximation, plus le dénominateur est grand, plus on peut atteindre une grande précision. Mais tout cela semble suivre une “loi”: si on choisit une série de nombre comme dénominateurs et qu’on tente de trouver les meilleures approximations en se donnant une marge d’erreur qui ne doit pas être dépassée, on y parviendra, soit à peu près toujours ou à peu près jamais. Il n’y a jamais d’entre-deux. Cette “loi”, c’est la conjecture de Duffin-Schaeffer.
Les conjectures, ce sont comme des hypothèses pour prédire les résultats dans certaines situations mathématiques. Elles se veulent universelles, mais elles sont seulement basées sur des exemples ponctuels. Elles sont difficiles à confirmer ou à infirmer. C’est pourquoi elles restent irrésolues pendant longtemps.
La conjecture de Duffin-Schaeffer, énoncée en 1941, attendait d’être prouvée mathématiquement. C’est maintenant chose faite.
Contrairement aux autres mathématiciens, l’équipe Koukoulopoulos-Maynard a utilisé une approche unique et efficace pour prouver cette fameuse conjecture: la théorie des graphes. Ils ont tracé un graphique formé de points et d’arêtes, dans lequel les dénominateurs qui servent à approximer les nombres rationnels sont représentés par des points. Les arêtes entre ces points indiquent si certains de ces dénominateurs ont un facteur en commun.
«Ce n’est pas le cas pour d’autres théorèmes en math, qui nécessitent une maîtrise pour comprendre le théorème, explique Dimitris Koukoulopoulos. Ce cas est particulier: le problème est facile à expliquer. Il y a des problèmes qui sont très simples à expliquer, mais ils restent non résolus depuis des dizaines, des centaines d’années.»
La méthode innovante de Koukoulopoulos et Maynard a surpris les mathématiciens du monde entier. Personne n’avait pensé à l’utiliser avant eux. La conjecture de Duffin-Schaeffer n’est donc plus une conjecture: elle est passée au rang de théorème grâce à eux!
Auteurs: Lin Shan Zhong, Misha Rubalsky, Patrick Wang, Vincent Ngo, Marc-Anthony Zeidan et Alexandre Yargeau
Lisez la présentation de cette découverte par l’équipe de Québec Science.