« La conjecture de Duffin-Schaeffer est vraie. » Dimitris Koukoulopoulos et son collègue James Maynard, de l’Université d’Oxford, posent devant la diapositive qui annonçait leur théorème à la communauté des mathématiciens à un colloque en Italie. Image: Kevin Ford
Est-il possible d’approximer, à l’aide d’une simple fraction, un nombre comme Pi avec une précision donnée? Voilà une question qui turlupinait les mathématiciens depuis 1941 et qui est aujourd’hui élucidée.
Sur ce graphe apparaissent des dénominateurs. Ils sont reliés lorsqu’ils ont au moins un facteur premier en commun, c’est-à-dire un nombre premier qui peut les diviser en donnant un entier. Par exemple, 25 et 10 peuvent tous deux être divisés par 5. Les dénominateurs non reliés, comme 11 et 20, ne partagent aucun facteur premier. C’est l’analyse du patron d’un tel graphe qui a permis aux mathématiciens de prouver que, même lorsque les dénominateurs choisis ont plusieurs facteurs premiers en commun, la conjecture de Duffin-Schaeffer tient toujours. Graphique adapté de Quanta Magazine
Ce n’est pas tous les jours qu’on prouve une conjecture mathématique, un énoncé qui se vérifie par des exemples, mais qui n’a pas été démontré hors de tout doute. C’est pourtant ce qu’a réussi Dimitris Koukoulopoulos, mathématicien à l’Université de Montréal, en validant la conjecture de Duffin-Schaeffer formulée il y a 80 ans… Une prouesse saluée par des mathématiciens du monde entier !
Cette conjecture tourne autour d’une question : est-il possible d’approximer, à l’aide d’une simple fraction, un nombre comme Pi avec une précision donnée ? Pi fait partie de la famille des nombres irrationnels. On l’obtient en divisant la circonférence d’un cercle par son diamètre. Et il est assez insaisissable, car il possède un nombre infini de décimales : 3,141 592 653 589… « Au quotidien, nous utilisons presque toujours des nombres rationnels, explique Dimitris Koukoulopoulos. Mais la grande majorité des nombres qui existent sont irrationnels. » Le mathématicien a appris à jongler avec ces nombres, qu’on ne peut pas exprimer par une fraction de deux nombres entiers.
« Par contre, on peut les approximer par une fraction », indique-t-il. Par exemple, 22/7 donne 3,142 857 14…, ce qui correspond à Pi jusqu’à sa deuxième décimale (d’où les chiffres en gras). En fait, la différence entre cette approximation et la vraie valeur de Pi est de 0,001…, ce qui est plutôt acceptable comme marge d’erreur pour une fraction si simple.
Si l’on essaie avec une fraction dotée d’un dénominateur (le diviseur) plus grand, on peut arriver à une marge d’erreur encore plus faible. Ainsi, 355/113 donne 3,141 592 92…, ce qui s’approche de Pi jusqu’à sa sixième décimale. La marge d’erreur, ici de 0,000 000 26…, est très respectable ! Les ingénieurs utilisent souvent ce genre de fraction à la place de Pi dans leurs calculs.
Dans une suite de fractions, la précision de l’approximation de Pi augmente à mesure que le dénominateur croît :
L’approximation des nombres irrationnels (comme Pi) par des fractions d’entiers turlupine les mathématiciens depuis toujours. En 1941, les mathématiciens américains Richard Duffin et Albert Schaeffer ont postulé, dans la conjecture qui a gardé leurs noms, que, lorsqu’on choisit une série de nombres comme dénominateurs (par exemple les nombres premiers, les nombres pairs ou encore tous les nombres se terminant par 7…) et qu’on choisit une marge d’erreur à ne pas dépasser, deux situations se produisent : il est possible d’approximer à peu près tous les nombres irrationnels ou alors on ne peut en approximer à peu près aucun ! « Il n’y a pas de situation intermédiaire, déclare Dimitris Koukoulopoulos. Il n’y a pas de cas où l’on peut en approximer 30 ou 50 %. C’est tout ou rien. »
Même si une poignée de théoriciens avaient validé de petites parties de la conjecture, elle résistait à toutes les tentatives. Dimitris Koukoulopoulos et son collègue James Maynard, de l’Université d’Oxford en Angleterre, ont utilisé une approche originale pour parvenir à une démonstration de 55 pages, publiée en juillet 2020 dans les Annals of Mathematics.
« Nous avons surpris un peu tout le monde en attaquant le problème par la théorie des graphes. Très sommairement, il s’agit de placer sur un graphique des points représentant les dénominateurs d’une série et de les relier ensemble lorsqu’ils partagent un grand nombre de facteurs communs. Lorsqu’il y a trop de connexions, l’approximation s’avère impossible. Donc, au final, ils ne permettront l’approximation d’à peu près aucun nombre irrationnel. »
Jean-Marie de Koninck, mathématicien bien connu de l’Université Laval qui n’a pas participé à l’étude, exprime avec un sourire dans la voix toute son admiration pour leur intuition : « Ces deux mathématiciens sont géniaux et ont un grand potentiel. Ce n’est pas pour rien que leur démonstration est parue dans les Annals of Mathematics. C’est la référence dans notre domaine et chacun aspire à y publier durant sa carrière. Eux ont à peine 35 ans ! De quoi être jaloux ! »
L’avis du jury
Ces mathématiciens ont non seulement réalisé un exploit historique, mais ils l’ont fait en pensant « en dehors du cadre », à l’aide d’une approche originale. Cette démonstration illustre les mathématiques pures. C’est l’expression même de la science fondamentale.